法国工程师大学预科班录取考试

QUOTE:

我最早在高二时听说过这个考试，那时给我印象最深的是只考数学。
  前两年的笔试内容是4小时、8道数学题，通过笔试后会有一次面试。如一切顺利，则被录取。收到录取通知后，每周有一天时间在法国驻上海领事馆内学习法语，直至高三结束的暑假。暑假两个月，赴法国实地生活，以加强法语学习。九月份便开始在法国一所重点理科高中学习，长达两年。其间，主要学习数学，其次是物理，还有化学、哲学、音乐、体育等。随后参加法国大学的相关入学考试。大学学满三年后，获硕士学位以及法国国家工程师称号。进入大学之前的一切费用由法国政府提供，进入大学后可以申请奖学金。
  在了解了相关资料之后，我决定怀着试一试的心态参加此次法国工程师大学预科班录取考试（笔试）。11月5日上午8：15，我进入考场。上海的考场设在虹口区业余大学，共401个人，每间教室大约30个人。两位监考老师反复强调了考试的注意事项。九点数学开考后，主考官和一位副考官多次进入教室视察。考场纪律很严。数学考试与往年一样四小时、八道数学题，答题时可以使用纸制英汉词典，但不能使用数学词典、电子词典、计算器。可以选择英语试卷或法语试卷、用英语或法语答题。连续考四小时后，下午一点收卷。由于规定试卷、答题纸、草稿一并交上，所以在此我只能大致地复述一下试题：（原文为英文，下面题目经过我翻译）
  1、求正实数数列{an},使得对于任意的自然数n，都有数列{an}的前n项立方和等于数列{an}的前n项和的平方。
  2、求三角形中三条中线长的平方和与三边长的平方和的比值。
  3、一列长100米的自行车队以某一速度匀速直线行驶。某一时刻，一人骑摩托车从自行车队最末端赶上，到达自行车队最前端后立即转向再次驶向最末端。在这一过程中自行车队共行驶了100米，求摩托车的人行驶的距离。
  4、已知三个正实数a、b、c,且abc=1,  求证a/(a+1)(b+1)+b/(b+1)(c+1)+c/(c+1)(a+1)≥3/4
  5、定义在R上的函数f（x）,x、y都在区间[0，1]上，且（i）f（1）=1；（ii）f（x）≥0；（iii）若x+y≤1，则f（x）+f（y）≤f（x+y）；
  求证：对于在区间[0，1]上的x，有f（x）≤2x。
  6、对于正整数n，记n!=1×2×3×4......×n(a)求出所有的n，使得n+1整除n!。
  (b)求证：如果n-1能够整除m,m=1+n+n2+n3+n4+......+nk-1,那么n-1能够整除k。
  (c)找出n，使得（n-1）！+1是n的整数次幂。
  7、求和为2006的一组正整数的积的最大值。
  8、集合{1，2，4，8，16，......，2p}，求其所含元素个数最多的子集A：如果,则。
  这次的题目比去年的简单，前三题能够很快地直接在答题纸上完成。第四题是整张试卷唯一一道需要一些竞赛基础的题目。后四题如果数学直觉较好应该也不难。这四年的考题给我的感觉是：每年一道平面几何，常出现在第一第二道，应该比较容易；每年一道不等式，只需用到均值和Cauchy不等式；每年一道数列，难度不定，不过始终是由等差或等比数列变化而来的；还会有一道数论，常与排列数和组合数有关，无需相关数论的定理，不过需要数学直觉；依靠直觉的还有函数映射，如前两年的一道保距映射，题目本身不难，但要能想得到；此外，还考过一道积分，一道求导。
  下午两点，考关于文化政治，历时一个半小时，可以选择英语试卷或法语试卷。这是今年新加出来的笔试内容。十道单项选择，一篇150至250字的作文。选择题中，涉及到法国文化的题目印象中不超过两道，其它的题目是世界范围的，如考到某一国家的语言语种、国家首都、奥运会、诺贝尔奖、国家的政治体制、联合国总部所在的城市等。作文题二选一：A就近日的某一新闻热点，发表评论；B用三点概括当今的世界。
  这是一次不错的机会，但听说预科班的两年会读得很辛苦。之所以自己想试一试是因为一方面我喜欢数学，另一方面我比较看重法国工程师大学颁发的硕士学位和法国国家工程师称号，以及五年的法语接触。

  〔背景资料〕
  法国工程师大学是法国240多所大学的统称，涵盖了理工科的所有领域，是法国所特有的精英大学。今年，共有363名国内考生参加本次考试，除了上海考点外，还设有西安、武汉等考点，这次考试共将录取50名同学。考试试卷分为英文版和法文版，任考生选择。